[引言]在2019版的高中数学教材修订中，重新增加了“和差化积”和“积化和差”公式。例如，在人教B版的第8.2.4三角函数恒等变换的应用一节中，明确给出了上述公式及其名称。本文拟进行深入探讨。

 

[和差化积公式]下述公式，等式左边是三角函数和或者差的形式，等式右边是乘积的形式，因此被称为“和差化积”公式。

[和差化积公式助记口诀]

正加正，正在前；

正减正，余在前；

余加余，余并肩；

余减余，负正弦。

 

[积化和差公式]下述公式，等式左边是三角函数乘积的形式，等式右边是和或者差的形式，因此被称为“积化和差”公式。

 

[积化和差公式助记口诀]

正余余正，正加正减；

余余正正，余加负余减。

 

[证明一]教材中利用三角函数的加法定理，给出了“积化和差”与“和差化积公式”的证明。

例如，根据两角和与差的余弦公式，有

依此类推，可以得到“和差化积”的其他三个公式。

 

[证明二]在人教A版教材5.5.2简单的三角恒等变换中，拓广探索部分要求用下述图形予以证明。

图中，点A和点B都在单位圆上，分别对应α和β。点M是点A和点B的中点。即

点M的纵坐标对应MC，于是

以上是两种最具代表性的证明，限于篇幅，其他证明方法略。

 

下面我们来看一下“和差化积”与“积化和差”的典型例题。

 

[例1]求值：sin20°cos70°+sin10°sin50°

 

[解析]利用积化和差公式，有

[例2]求值：sin20°sin40°sin60°sin80°

 

[解析]利用积化和差公式，有

[例3]求值：sin220°+cos250°+sin20°cos50°

 

[解析]首先利用降幂公式，得

再利用“和差化积”以及“积化和差”公式，有

 

[例4]已知cosα-cosβ=1/2，sinα-sinβ=-1/3，求sin(α+β)和cos(α+β)的值。

 

[解析]利用和差化积公式，将所给式子变形有

以及

[后记]对于2022年参加高考的考生而言，在高一期间适逢教材改版，属于特殊的历史时期，不少同学课内没有讲授“和差化积”与“积化和差”公式。对于北京地区的考生而言，多数学校在2021年对2019版教材进行若干次修订以后才开始学习上述公式。

 

该部分知识点反映在近几年的高三模考题中，考虑了上述学情以及疫情的影响，主要以填空题的开放性试题的面貌出现，难度较小，甚至可以完全不使用“和差化积”与“积化和差”公式进行求解。但是，以后的考题可能会出现直接考查。

 

最后，需要指出的是，“和差化积”与“积化和差”公式在高等数学中有着广泛的应用，例如推导正弦函数和余弦函数的导数公式等，是进一步学习的基础。如有余力，还是需要了解和掌握的。