处理无限是人类精神对自身的挑战，宇宙是无限的吗？如果宇宙是有限的，那么界限的外面是什么？我们习惯于这样发问，我们的精神固执地要用一个个虚构的界限去分割一个对象，这种思想行为的后果是，宇宙无限的观念不可避免，空间无限是难以想象的，却是必然的观念，这是人类精神面临的难以消解的矛盾．

数学思维可以帮助我们更好地理清宇宙是否无限这个问题．如果设定宇宙为一个不定义但可以使用的概念，那么宇宙无限或者宇宙有限就可以设成一个系统的公理，其真假性便被悬置交给哲学；如果认定一切可以思考的对象都属于宇宙，那么根据定义就可推断宇宙没有界限；如果“无限”理解成“直径无穷大”，那么宇宙是否无限就依赖于度量，也就取决于所建立的数学模型．另一个有关“无限”的难题是：粒子是否无限可分？从逻辑的观点看，粒子无限可分是无可置疑的．然而应该指出，粒子无限可分并不等同于粒子有无穷多个层次．这两个论断之间存在着微妙的区别：前者意指粒子的层次数是潜在无穷（潜无穷）的，而后者则意指粒子的层次数是实在无穷（实无穷）的，潜无穷是处于生成过程的无穷，而实无穷则是已经完成的无穷．在现代数学中实无穷已经是被普遍接受的观念，但是拒绝接受实无穷也绝非不可理喻的行为．

无限是一个丰富而迷人的概念，现代数学中处处可以发现无限的影子，希尔伯特曾说，数学分析是关于无限的交响乐，他也曾感叹：“无限啊！从来没有别的问题这么深刻地打动人类精神，也没有别的观念这么有效地激发人类智慧．然而，也没有其他概念象无限概念这么需要澄清．”的确，人类精神从来没有停止关于无限概念的思考和争论．

谈论无限不能避开芝诺．芝诺是古希腊哲学家，他深刻认识到了无限概念所包含的困难．让我们来思考他提出的一个奇论（通常称为悖论）：运动是不可能的，这是因为运动者要通过一段路程，必先通过路程的1/2处，而要通过1/2处，必先通过1/4处，依此类推，运动者必须在有限时间内通过无限多个点，而这是不可能的．

据说，古希腊哲学家第欧根尼曾以这种方式“反驳”芝诺的论证：一言不发地站起来走来走去．但是，当他的学生对此表示赞许时他敲了一下学生的脑袋教导道，教师既然用理由来辩争，学生也应该用理由去反驳．显然，芝诺不会荒谬到否认实际运动的存在，第欧根尼也不会肤浅到用走动行为去反驳芝诺的论证．哲学家关心的是运动的概念，哲学家的困惑是，运动如何能够成为合理的概念，看到实际运动并不等于我们理解了运动．这正如，看到石头存在并不等于我们理解了存在．

伟大的哲学家亚里士多德如何分析这个难题？亚里士多德认为，应该把无限理解为一种性质而非数目，空间和时间都具有无限可分的性质，在有限时间内接触无限数目的对象是不可能的，但接触无限可分的对象则是可能的．空间和时间为什么是无限可分的？我们可以这样理解：分割是思想的行为，一旦开始就可以无休止地重复．亚里士多德的这个观点本质上非常接近现代数学关于无限的观点．